Funkcija f: A → B je pravilo koje svakom elementu skupa A (domena) pridružuje tačno jedan element skupa B (kodomena). Zapisujemo y = f(x), gdje je x nezavisna, a y zavisna promjenljiva.
A function f: A → B is a rule that assigns to every element of set A (the domain) exactly one element of set B (the codomain). We write y = f(x), where x is the independent and y the dependent variable.
Domena — skup svih vrijednosti x za koje je funkcija definisana. Kodomena (skup vrijednosti) — skup svih mogućih rezultata f(x).
Domain — the set of all values of x for which the function is defined. Codomain (range) — the set of all possible results of f(x).
Domena se najčešće ograničava kod: razlomaka (imenilac ≠ 0), korijena parnog reda (podkorjena veličina ≥ 0), logaritma (argument > 0).
The domain is most often restricted by: fractions (denominator ≠ 0), even-order roots (radicand ≥ 0), logarithms (argument > 0).
f(x) = ax + b — graf je prava linija; a je nagib (koeficijent pravca), b je odsječak na y-osi.
f(x) = ax + b — the graph is a straight line; a is the slope, b is the y-intercept.
f(x) = ax² + bx + c — graf je parabola; predznak a određuje da li se parabola otvara na gore (a>0) ili na dolje (a<0).
f(x) = ax² + bx + c — the graph is a parabola; the sign of a determines whether it opens upward (a>0) or downward (a<0).
f(x) = k / x — hiperbola; domena isključuje x = 0.
f(x) = k / x — a hyperbola; the domain excludes x = 0.
f(x) = aˣ — uvijek pozitivna, monotono raste (a>1) ili opada (0<a<1).
f(x) = aˣ — always positive, monotonically increasing (a>1) or decreasing (0<a<1).
f(x) = logₐ(x) — inverzna eksponencijalnoj; domena x > 0.
f(x) = logₐ(x) — the inverse of the exponential function; domain x > 0.
f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) — periodične, period 2π, vrijednosti u [-1, 1].
f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) — periodic, period 2π, values in [-1, 1].
Parna funkcija: f(-x) = f(x) — graf simetričan u odnosu na y-osu (npr. x²).
Even function: f(-x) = f(x) — the graph is symmetric about the y-axis (e.g. x²).
Neparna funkcija: f(-x) = -f(x) — graf simetričan u odnosu na koordinatni početak (npr. x³, sin x).
Odd function: f(-x) = -f(x) — the graph is symmetric about the origin (e.g. x³, sin x).
Odaberi tip funkcije i pomjeraj klizače da vidiš kako parametri mijenjaju oblik grafa.
Pick a function type and move the sliders to see how the parameters change the shape of the graph.
Pređi mišem (ili dodirni na mobitelu) preko primjera da vidiš rješenje korak-po-korak.
Hover (or tap on mobile) over an example to see the step-by-step solution.
Pređi mišem preko naziva da vidiš konkretan primjer.
Hover over a name to see a concrete example.
Limes funkcije opisuje čemu se f(x) približava kada se x približava nekoj vrijednosti a — čak i ako funkcija u toj tački nije definisana. Zapisujemo: lim(x→a) f(x) = L.
The limit of a function describes what value f(x) approaches as x approaches some value a — even if the function isn't defined at that point. We write: lim(x→a) f(x) = L.
Kada ispitujemo šta se dešava sa f(x) dok x raste ili opada bez granice, pišemo lim(x→+∞) f(x). Ako rezultat teži konačnom broju, ta vrijednost predstavlja horizontalnu asimptotu grafa.
When we examine what happens to f(x) as x grows or shrinks without bound, we write lim(x→+∞) f(x). If the result tends to a finite number, that value is a horizontal asymptote of the graph.
Funkcija je neprekidna u tački x = a ako je definisana u toj tački, limes u njoj postoji, i vrijedi lim(x→a) f(x) = f(a). Ako bilo koji uslov ne vrijedi, funkcija ima prekid (diskontinuitet).
A function is continuous at x = a if it is defined there, the limit exists there, and lim(x→a) f(x) = f(a) holds. If any condition fails, the function has a discontinuity.
Jedan od najvažnijih graničnih limesa u kalkulusu: lim(x→0) sin(x)/x = 1. Koristi se kao osnova za izvođenje mnogih drugih trigonometrijskih limesa.
One of the most important limits in calculus: lim(x→0) sin(x)/x = 1. It serves as the basis for deriving many other trigonometric limits.
Pod uslovom da oba limesa postoje: lim(f ± g) = lim f ± lim g, lim(f·g) = lim f · lim g. Problem nastaje kada direktna zamjena daje neodređeni oblik poput 0/0 ili ∞/∞ — tada koristimo faktorizaciju, racionalizaciju ili poznate granične limese.
Provided both limits exist: lim(f ± g) = lim f ± lim g, lim(f·g) = lim f · lim g. A problem arises when direct substitution gives an indeterminate form like 0/0 or ∞/∞ — then we use factoring, rationalization, or known standard limits.
Pomjeraj klizač da x sve više teži tački a i posmatraj kako se f(x) približava graničnoj vrijednosti L.
Move the slider so x approaches point a more and more closely, and watch how f(x) approaches the limiting value L.
Pređi mišem (ili dodirni na mobitelu) da vidiš puno rješenje.
Hover (or tap on mobile) to see the full solution.
Pređi mišem preko naziva da vidiš konkretan primjer.
Hover over a name to see a concrete example.
Izvod funkcije u tački opisuje trenutnu brzinu promjene — nagib tangente na krivu u toj tački. Definiše se kao granična vrijednost količnika prirasta: f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx.
The derivative of a function at a point describes its instantaneous rate of change — the slope of the tangent line to the curve at that point. It is defined as the limit of the difference quotient: f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx.
Stepena funkcija: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
Power function: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(u·v)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
(sin x)' = cos x (cos x)' = −sin x (eˣ)' = eˣ (ln x)' = 1/x
Ako je f'(x) > 0 na intervalu, funkcija na njemu raste; ako je f'(x) < 0, funkcija opada. Tačke gdje je f'(x) = 0 su kandidati za ekstreme (minimum/maksimum). Drugi izvod f''(x) govori o konveksnosti: f''(x) > 0 — kriva je konveksna (kao "posuda"), f''(x) < 0 — konkavna.
If f'(x) > 0 on an interval, the function is increasing there; if f'(x) < 0, it is decreasing. Points where f'(x) = 0 are candidates for extrema (minimum/maximum). The second derivative f''(x) describes convexity: f''(x) > 0 — the curve is convex (like a "bowl"), f''(x) < 0 — concave.
Pomjeraj klizač da odabereš tačku x₀ i posmatraj kako se tangenta i nagib mijenjaju duž krive.
Move the slider to pick a point x₀ and watch how the tangent and its slope change along the curve.
Pređi mišem (ili dodirni na mobitelu) da vidiš puno rješenje.
Hover (or tap on mobile) to see the full solution.
Pređi mišem preko naziva da vidiš konkretan primjer.
Hover over a name to see a concrete example.
Diferencijal dy je linearna aproksimacija promjene funkcije, izračunata pomoću izvoda: dy = f'(x)·dx. To je "koliko bi se y promijenio da f raste tačno po tangenti" umjesto po stvarnoj krivoj.
The differential dy is a linear approximation of a function's change, computed using the derivative: dy = f'(x)·dx. It's "how much y would change if f grew exactly along the tangent" instead of the actual curve.
Δy je stvarna promjena funkcije duž krive; dy je promjena duž tangente u polaznoj tački. Što je Δx manji, to su dy i Δy bliži — dy je dobra aproksimacija za male promjene.
Δy is the actual change in the function along the curve; dy is the change along the tangent at the starting point. The smaller Δx is, the closer dy and Δy get — dy is a good approximation for small changes.
Na grafu, Δy je vertikalno rastojanje od početne tačke krive do nove tačke krive; dy je vertikalno rastojanje do tangente u istoj x-koordinati.
On the graph, Δy is the vertical distance from the starting point on the curve to the new point on the curve; dy is the vertical distance to the tangent line at the same x-coordinate.
Diferencijal se koristi za brzu procjenu vrijednosti funkcije blizu poznate tačke: f(x + dx) ≈ f(x) + f'(x)·dx. Korisno kad je tačan izračun (npr. korijena) komplikovan, a dovoljna je dobra procjena.
The differential is used to quickly estimate a function's value near a known point: f(x + dx) ≈ f(x) + f'(x)·dx. Useful when an exact calculation (e.g. a root) is complicated and a good estimate is enough.
Pomjeraj Δx da vidiš kako se stvarna promjena (Δy) i linearna aproksimacija (dy) razlikuju — i kako se približavaju kad je Δx malen.
Move Δx to see how the actual change (Δy) and the linear approximation (dy) differ — and how they converge when Δx is small.
Pređi mišem (ili dodirni na mobitelu) da vidiš puno rješenje.
Hover (or tap on mobile) to see the full solution.
Pređi mišem preko naziva da vidiš konkretan primjer.
Hover over a name to see a concrete example.
∫f(x)dx = F(x) + C, gdje je F'(x) = f(x). Integral je "obrnuta operacija" od izvoda — tražimo funkciju čiji je izvod dati f(x).
∫f(x)dx = F(x) + C, where F'(x) = f(x). The integral is the "reverse operation" of the derivative — we look for a function whose derivative is the given f(x).
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1) ∫1/x dx = ln|x| + C ∫eˣdx = eˣ + C
∫sin x dx = −cos x + C ∫cos x dx = sin x + C
∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a) — geometrijski predstavlja površinu između krive i x-ose na intervalu [a, b].
∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a) — geometrically, this is the area between the curve and the x-axis on the interval [a, b].
Kad integral sadrži funkciju i njen izvod, uvodimo smjenu t = g(x), dt = g'(x)dx, čime se integral svodi na jednostavniji oblik po t.
When an integral contains a function and its derivative, we introduce the substitution t = g(x), dt = g'(x)dx, reducing the integral to a simpler form in t.
Pomjeraj granice a i b, i uključi Riemannove pravougaonike da vidiš kako se određeni integral gradi kao zbir malih površina.
Move the bounds a and b, and turn on Riemann rectangles to see how the definite integral is built up as a sum of small areas.
Pređi mišem (ili dodirni na mobitelu) da vidiš puno rješenje.
Hover (or tap on mobile) to see the full solution.
Pređi mišem preko naziva da vidiš konkretan primjer.
Hover over a name to see a concrete example.